La penna 3D è sempre più conosciuta nel mondo e ha catturato l’attenzione di persone appartenenti a diversi ambiti professionali e classi di età. Durante quest’ultimo anno, in molti hanno cercato di capire le potenzialità di questo strumento, in quali settori utilizzarlo e come. 
I primi utilizzatori della penna 3D, che attraverso il web si sono confrontati condividendo suggerimenti, idee ed esperienze, hanno realizzato i più svariati oggetti: modelli architettonici, lampade, decorazioni e addirittura gioielli, solo per fare alcuni esempi. 
Recentemente, si è iniziato a pensare all'utilizzo di questa penna speciale nelle scuole e alcuni insegnanti hanno proposto attività didattiche da fare in classe legate ai campi della chimica, dell’astronomia, dell’arte, del design e dell’ingegneria. Col presente contributo, oltre ad illustrare le potenzialità principali della penna 3D, vorrei proporvi un'esperienza legata all’ambito della matematica.

Che cos'è una penna 3D?

Ad oggi quasi tutti hanno sentito parlare di stampanti 3D, ma forse non di penne 3D. Entrambi gli strumenti permettono di costruire oggetti tridimensionali, ma la penna 3D non necessita di particolari abilità informatiche, sono sufficienti buone abilità manuali. In questo modo, gli oggetti costruiti con la penna 3D, anche se meno “precisi” di quelli costruiti dalla stampante, risultano certamente più artistici e personalizzati. La penna 3D è simile a una pistola per la colla a caldo e rilascia nello spazio un tratto molto sottile di plastica (simile ad un tratto di penna) che si solidifica in un tempo brevissimo. Può essere utilizzata con PLA (Acido Polilattico) o con ABS (Acrilonitrile Butadiene Stirene), due materiali plastici con caratteristiche differenti. Con l'ABS si riesce a scrivere "in aria", cosa non possibile invece con il PLA. D'altra parte il PLA si modella meglio ed è comodo da usare per costruire vari pezzi piani da assemblare poi nello spazio.

Uso didattico della penna 3D

Alcuni insegnanti hanno già proposto e implementato l'uso della penna 3D in classi di diverso livello e in varie materie, coinvolgendo gli studenti in realizzazioni di diverso tipo. Nell’ambito della meccanica e dell'ingegneria civile sono stati prodotti modellini raffiguranti ponti o particolari strutture. In campo artistico sono stati creati ritratti, sculture, gioielli, bassorilievi. In chimica, si è rivelato assai interessante riprodurre in 3D la struttura di molecole, di atomi e dei rispettivi orbitali in modo da poterne poi studiare la forma più facilmente. Per l’analisi statistica è stato possibile creare grafici con più di due assi in grado di facilitare notevolmente la comprensione e rendere i dati più “concreti” e “tangibili”. Nel campo dell'astronomia un professore ha riprodotto il sistema solare: i vari pianeti e il sole con le loro caratteristiche e le giuste proporzioni. Dal settore dell'architettura e del design è nato uno studio su come la penna 3D possa favorire la visualizzazione del concetto di spazio e la comprensione del passaggio dal disegno in prospettiva fatto sul foglio al medesimo disegno riprodotto in 3D. Questi sono solo alcuni esempi di lavori, esperienze e ricerche sull'uso didattico della penna 3D condivisi ad oggi sul Web. 

A questo interessante quadro si aggiunge la ricerca che sto facendo presso l'Università di Bologna. Sotto la supervisione del prof. Alberto Parmeggiani del Dipartimento di Matematica e in collaborazione con il prof. Gianni Brighetti del Dipartimento di Psicologia, ho sviluppato l'attività didattica Fascinating World of Geometric Forms che attualmente è in fase di sperimentazione (si concluderà a maggio 2015) su un campione di circa 200 studenti del quarto anno di liceo.

Fascinating World of Geometric Forms: l'attività e la ricerca 

Il progetto di ricerca si pone l'obiettivo di avvicinare gli studenti allo studio della geometria dello spazio e, soprattutto, di sviluppare in loro la capacità di creare immagini mentali: in particolare, la capacità di ruotare mentalmente le figure geometriche, comporle e traslarle, e la capacità di visualizzare e assemblare mentalmente le varie sezioni piane che determinano uno stesso oggetto matematico. A questo scopo la penna 3D si è rivelata uno strumento fondamentale.
L'idea che sta alla base del progetto è fare matematica costruttiva: grazie a questa penna speciale i ragazzi sono liberi di disegnare e costruire nello spazio, senza più essere costretti a disegnare in prospettiva sul foglio. L'attività è facilmente adattabile a studenti di varie età, da quelli dell'ultimo anno della scuola secondaria di primo grado, fino a quelli dell'ultimo anno della scuola secondaria di secondo grado. Si tenta con i ragazzi di rispondere alla domanda "come uscire dal piano?" e, a tal proposito, si costruiscono modellini di varie figure geometriche: poliedri, superfici di rotazione e quadriche. Lo sforzo che i ragazzi fanno per creare questi oggetti necessita di una non banale comprensione della forma e di una grande capacità di scomporre le figure 3D in tante figure piane da assemblare nello spazio. I modellini così ottenuti risultano "scheletrati": suggeriscono bene la forma, ma non costituiscono una rappresentazione completa della superficie. Infatti, saranno i ragazzi che dovranno completare le linee mancanti e/o estendere mentalmente la superficie all'infinito.

Pensare, costruire con la penna 3D, visualizzare e toccare con mano un modellino, piuttosto che analizzarlo a monitor, può avere un profondo effetto positivo nell'apprendimento della geometria dello spazio. Unire all'esperienza visiva e di ragionamento l'esperienza manuale, progettuale e ingegneristica, è un buon modo per migliorare la comprensione e la percezione visiva spaziale.

Gli oggetti matematici veri e propri esistono solo nella mente; le superfici infinitamente estese e più in generale, l'idealità, la perfezione, l'astrazione e la generalità tipiche degli oggetti matematici, non esistono concretamente. Dunque, è fondamentale sviluppare il processo di costruzione di immagini mentali: vedere e toccare per davvero modelli che suggeriscono queste forme può esserne un aiuto decisivo. Tale abilità è importante ai fini di uno studio profondo e consapevole  della matematica, la quale ha sempre un riscontro geometrico anche se, troppo spesso, a scuola alcuni insegnanti si limitano solo a quello algebrico. 

Secondo alcuni modelli educativi, per capire la matematica bisogna vederla, a questo proposito, William Thomson (Lord Kelvin), un importante fisico e ingegnere britannico che ha dato significativi contributi all'approccio matematico dell'elettromagnetismo e della termodinamica, nel Notes of Lectures on molecular Dinamics (1884) affermava: “Io non sono soddisfatto finché non posso costruire un modello meccanico dell'oggetto che studio. Se posso costruire un tale modello meccanico, comprendo; sino a che non posso costruirlo non comprendo affatto".

Insegnare geometria dello spazio

Come sottolineano G. Arrigo e S. Sbaragli (2004), solitamente gli insegnanti insistono sempre molto sulla geometria del piano e solo successivamente, e non sempre, propongono di lavorare nello spazio. La tendenza è seguire un'impostazione euclidea che parte dal 2D per poi passare al 3D, anche se dovrebbe essere più “intuitivo” parlare di oggetti tridimensionali, essendo questi strettamente legati all'esperienza di tutti i giorni. La geometria piana richiede meno assiomi per essere trattata e probabilmente è per questo che i docenti si soffermano quasi esclusivamente sulle due dimensioni e sono in difficoltà nell'insegnare la geometria 3D. 
Si trovano spesso di fronte a ragazzi abituati a ragionare nel piano e che fanno una grande fatica a studiare lo spazio; sembrano aver dimenticato che lo spazio non è altro che la loro esperienza quotidiana. È doveroso intervenire su questo, poiché "è proprio nella scuola secondaria che bisogna affinare la capacità degli allievi a costruire modelli matematici di situazioni reali" (Arrigo e Sbaragli, 2004), dunque tridimensionali. Gli studenti devono necessariamente essere aiutati a sviluppare la capacità di vedere la geometria (dello spazio) negli oggetti di tutti i giorni, ad astrarre modelli matematici e a ruotare mentalmente oggetti. Si sottolinea, inoltre, l'importanza di un approccio sintetico legato allo studio della geometria che possa preparare i ragazzi ad un successivo approccio più complesso (algebrico, analitico, vettoriale, trigonometrico, ecc.): "la geometria, a tutti i livelli, deve dare agli allievi una sensibilità spaziale, deve rafforzare la componente 'visualizzazione' del nostro modo di concepire il mondo, deve gettare un ponte fra sensibilità e razionalità" (Arrigo e Sbaragli, 2004). 

Così come nella scuola primaria e secondaria di primo grado, la geometria dello spazio è un argomento che concerne tutti i tipi di scuole secondarie di secondo grado. Le nuove Indicazioni Nazionali per i licei prevedono, durante il secondo biennio, lo studio delle sezioni coniche, sia da un punto di vista geometrico sintetico che analitico, e anche lo studio delle posizioni reciproche di rette e piani nello spazio, il parallelismo e la perpendicolarità. Inoltre, durante il quinto anno, è prevista la geometria analitica dello spazio, nonché la rappresentazione analitica di rette, piani, sfere, e infine lo studio dei principali solidi geometrici (poliedri). Anche nelle Linee guida per gli istituti tecnici e quelli professionali si consiglia, nel primo biennio, di confrontare e di individuare le figure geometriche, studiandone invarianti e relazioni, di eseguire costruzioni geometriche elementari utilizzando la riga e il compasso e/o strumenti informatici e, inoltre, di studiare il perimetro, l'area e il volume delle principali figure geometriche del piano e dello spazio. Un altro obiettivo è quello di porre, analizzare e risolvere problemi del piano e dello spazio utilizzando le proprietà delle figure geometriche, oppure le proprietà di opportune isometrie. 

Nell'insegnare la geometria 3D bisogna essere molto cauti, senza dare per scontata nessuna delle nozioni di base. Infatti, da alcune sperimentazioni, è emerso che anche negli studenti degli ultimi anni della scuola secondaria di secondo grado si riscontrano frequentemente delle profonde contraddizioni nella concezione spaziale. Ad esempio, da una preliminare analisi dei primi dati della mia sperimentazione si evince che gli studenti generalmente conoscono la definizione di solido di rotazione, ma, nonostante questo, in molti nella loro mente vedono, erroneamente, l'immagine di un prisma come risultato dalla rotazione di un triangolo attorno a un suo lato. Inaspettatamente, gli insegnanti possono scoprire dei grandi divari tra gli aspetti concettuali e quelli figurali (Fischbein, 1993), e questo è un grande problema nell'educazione geometrica. 

Fascinaing World of Geometric Forms cerca di armonizzare questi aspetti e di far vivere ai ragazzi un'esperienza propedeutica ad uno studio approfondito della geometria 3D. Dà inoltre degli ottimi aiuti per affrontare un percorso didattico che parte da numerose nozioni di geometria piana per poi sviluppare quelle della geometria dello spazio.

Iniziative attuali e future di Fascinating World of Geometric Forms

Attualmente il progetto è in fase di sperimentazione nelle classi quarte di alcuni licei che hanno aderito al Progetto Lauree Scientifiche organizzato dal dipartimento di Matematica dell'Università di Bologna. Come membro della delegazione italiana, porterò questa attività al Festival Science on Stage “Illuminating Science Education” che si terrà a Londra, presso il Queen Mary College, dal 17 al 20 giugno 2015. 

I ragazzi che si sono cimentati in questo tipo di attività si sono dimostrati entusiasti. Il loro impegno e la loro curiosità nel fare queste costruzioni hanno ampiamente superato le mie aspettative e quelle dei miei collaboratori; dunque, cercherò di portare l'esperienza di Fascinating World of Geometric Forms in varie scuole, festival scientifici, e altri eventi.

Bibliografia essenziale

Arrigo G., Sbaragli S. (2004), Salviamo la geometria solida!Riflessioni sulla geometria dall'infanzia alle superiori, Roma, Carocci

Fischbein E. (1993), The theory of figural concepts. Educational studies in mathematics, 24, 139-162

W. Thomson, Notes of Lectures on molecular Dinamics, Baltimore 1884, p. 270

Sitografia

Guasti L., Manipolare quel che si crea, un altro modo per imparare, Indire - Innovazione e Ricerca, 18/07/2014  

3Doodler - www.the3doodler.com

Pagina Facebook del progetto Fascinating World of Geometric Forms 

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Nota biografica sull'autrice

Linda Giampieretti è laureata in matematica presso l’Università di Bologna, il suo lavoro di ricerca verte sulla progettazione di attività per sviluppare la capacità degli studenti nel creare immagini mentali e nel concepire lo spazio 3D, con particolare attenzione all'utilizzo di specifiche strumentazioni di supporto (penne 3D, stampanti 3D, ecc.).